9(2a+b)^2=509(4a+110b)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 15:08:47
a为质数，b是正整数，且9(2a+b)^2=509(4a+110b)，
求a、b之值。
...先多谢楼下几位答题的高人了。
这个呢、本来也是别人告诉的题、至于题面的正误俺实在不敢多做保证..
不过还是十分感谢。

由9(2a+b)^2=509(4a+110b)，得(6a+3b)^2=509(4a+110b)，
因为509是质数，那必有
4a+110b＝509*K^2 （1）
6a+3b＝509*K （2）
（1）*3-(2)*2 得
324b=509*（3K^2 -2K）
又因为509是质数，由上式可以看出b是509得倍数，
设为b＝509n （n是正整数）
再看（1）式，得出a也必为509的倍数，但a也是质数，所以只能a＝509，
现在把a＝509，b＝509n，代入原式有：
9(2*509+509*n)^2=509(4*509+110n*509)，
化简有9n^2－74n＋32＝0
此方程无整数解。所以本题无解。
是不是楼主写错题了？
还有 gjh19891010 你在这算错了
引用：＜2a+b=509n,(1)
4a+110b=509*k^2=509*9*n^2,(2) (n>=1)
(1)*110-(2),
所以
216a=509n(110-n) ＞

应该是：216a=509n(110-9n) 此方程也无整数解。

的确有难度，建议你请教初中数学老师，可惜我是教小学的0(@.@)0!

9(2a+b)^2=509(4a+110b)
[3(2a+b)]^2=509(4a+110b)
左边是完全平方数，所以右边也应该是完全平方数
509是质数，所以
4a+110b=509*k^2(k>=1)
所以
[3(2a+b)]^2=(509k)^2
所以
3(2a+b)=509k
左边能被3整除，右边509是质数
所以k能被3整除
所以
设k=3n(n>=1)
所以
2a+b=509n,(1)
4a+110b=509*k^2=509*9*n^2,(2) (n>=1)
(1)*110-(2),
所以
216a